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数式を $$ で囲んで書いてますが面倒くさいので、いちいち、はてな書式にしたりしません

京都大学 2016 文系 数学問題[2]

数学

Thu Feb 25 22:49:59 JST 2016

京都大学 2016 文系 数学問題[2]

https://twitter.com/yuya_lz/status/702767994053615616/photo/1

問題: 素数  p, q によって表される数  p^{q} + q^{p} 素数であるような  (p,q) の組み合わせを求めよ.

実際に実験をすると予想が立ってしまう:

require 'prime'

N=100
Prime.each(N) {|q1|
  Prime.each(N) {|q2|
    r = q1**q2 + q2**q1
    if r.prime?
      p [q1,q2]
    end
  }
}

 p,q が共に奇数、即ち 3 以上の素数である場合、 p^{q}+q^{p} が偶数だし、2 よりは大きそうだからダメだとすぐに分かる. 従ってどちらか一方は 2 で、 p=2 とする.  p^{q} + q^{p} = 2^{q} + q^{2} .

でまあ、これも、実験して分かったことなんだけど、  q が 3 の倍数ではない素数のとき、  2^{q} + q^{2} は 3 の倍数である.

 2^{q} の3の剰余というのは、  q=1,2,3,4,5, \ldots について、  2^{q} \bmod 3 = 2,1,2,1,\ldots であること、  q を奇数に限ると  2^{q} \bmod 3=2,2,2,\ldots であることはすぐ分かる.

q=3n+1

 q 3n+1 で表せる素数のとき、  q^{q} \bmod 3 = 2 である.

 { \displaystyle
(2^{q} + q^{2}) \bmod 3 = (2 + (3n+1)^{2}) \bmod 3 = 0.
}

であるので、q がそういう素数ならば、アレは 3 の倍数であるので、素数ではない (もちろん3でないことも言わないといけないけど).

q=3n+2

q=3n+2 の形の素数のとき、2^{q} \bmod 3 = 2 であって云々で、やっぱりアレは 3 の倍数である (3 でないことは自明).

q=3n

q3n で表される素数であるならば、q=3 である. 実際に計算することで、2^{q}+q^{2}素数であることが言える.